Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014


Uji Kompetensi 3

1). Pak Mahir mempunyai tiga anak: bernama Budi, Ani, dan Anton. Pak Ridwan mempunyai dua anak: bernama Alex dan Rini. Pak Rudi mempunyai seorang anak bernama Suci.
a. Nyatakan dalam diagram panah, relasi “ayah dari” .
b. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi ? Jelaskan.
c. Nyatakan dalam diagram panah, relasi “anak dari” .
d. Apakah relasi pada soal c merupakan fungsi ? Jelaskan .

Jawab:
a. Diagram Panahnya:
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014

b. relasi tersebut bukan merupakan fungsi, karena setiap anggota himpunan A memiliki lebih dari satu anggota himpunan B. atau himpunan pasangan berurutan, yaitu : {(P. Mahir, Budi), (P. Mahir, Ani), (P. Mahir, Anton), (P. Ridwan, Alex), (P. Ridwan, Rini), (P. Rudi, Suci)}.

c. Dalam diagram panah, relasi “anak dari” :
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014


d. relasi tersebut merupakan fungsi, karena setiap anggota B memiliki tepat satu anggota himpunan A. atau himpunan pasangan berurutan, yaitu : {(Budi, P. Mahir), (Ani, P. Mahir), (Anton, P. Mahir), (Alex, P. Ridwan), (Rini, P. Ridwan), (Suci, P. Rudi)}.

2). Fungsi f didefnisikan dengan rumus f(x) = 5 – 3x dan diketahui daerah asalnya adalah {–2,–1, 0, 1, 2, 3},
a. Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut.
b. Gambarlah grafik fungsinya.

Jawab:
a. Rumus = f(x) = 5-3x
f(-3) = 5 -3(-3) 
= 5 +9
= 14
f(-2) = 5 -3(-2)
= +6
= 11
f(-1) = 5 -3(-1)
= 5 +3
= 8
f(0) = 5 -3(0)
= 5 -0
= 5
f(1) = 5 -3(1)
= 5 -3
= 2
f(2) = 5 -3(2)
= 5 -6
= -1
f(3) = 5 -3(3)
= 5 -9
= -4
f(4) = 5 -3(4)
= 5 -12
= -7
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014
b. Grafik fungsinya:
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014


3). Daerah asal fungsi yang didefnisikan dengan fungsifdarixke 2x– 1 adalah {x - 2 < x < 3, x ∈ R}
. Tentukanlah daerah hasilnya.

Jawab :
f(x) = 2x - 1
f(-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3
f(0) = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1
f(1) = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1
f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3
Jadi daerah hasilnya :
Rf = {-3, -1, 1, 3} ==> jika daerah asalnya x ∈ bilangan asli
Tetapi jika x ∈ R => x anggota bilangan real (materinya lebih ke jenjang SMA)
seharusnya bilangan rasional juga memenuhi seperti x = -1,8 atau x = 2,7
Jadi
jika x = -2 => f(-2) = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5
jika x = 3 => f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5
Jadi daerah hasilnya = {y | -5 < y < 5, y ∈ R}

CARA LAIN :
-2 < x < 3 ==> kali 2
-2(2) < x(2) < 3(2)
-4 < 2x < 6 ==> kurangi 1
-4 - 1 < 2x - 1 < 6 - 1
-5 < f(x) < 5
-5 < y < 5
Jadi daerah hasilnya = {y | -5 < y < 5, y ∈ R}

4. Jika A = {2, 3, 5, 7} dan B = {4, 6, 8, 9, 10}, tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin.

Jawab:
A = { 2, 3, 5, 7 } → n = 4
B = { 4, 6, 8, 9, 10 } → n = 5
Banyak pemetaan dari A ke B = B^A
= 5⁴
= 625
Banyak pemetaan dari B ke A = A^B
= 4⁵
= 1.024
Jadi, berturut-turut = 625 dan 1.024

5). Suatu fungsi didefnisikan dengan rumus f(x) = 5 - 3x dengan daerah asal {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
a. Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut.
b. Gambarlah grafik fungsinya.

Jawab :
a. Diketahui f(x) = 5 - 3x
Himpunan daerah asal adalah {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Untuk x = -3,
f(-3) = 5 - 3(-3) = 5 + 9 = 14 
untuk x = -2,
f(-2) = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11 
untuk x = -1,
f(-1) = 5 - 3(-1) = 5 + 3 = 8
untuk x = 0,
f(0) = 5 - 3(0) = 5 - 0 = 5 
untuk x = 1, 
f(1) = 5 -3(1) = 5 - 3 = 2 
untuk x = 2,
f(2) = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1
untuk x = 3,
f(3) = 5 - 3(3) = 5 - 9 = -4 
untuk x = 4, 
f(4) = 5 - 3(4) = 5 - 12 = -7 
Himpunan pasangan berurutan, yaitu : {(-3, 14), (-2, 11), (-1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, -1),(3, -4),(4, -7)}.
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014
b. Grafik fungsinya:
Soal Dan Pembahasan Matematika Kelas 8 Uji Kompetensi 3 Buku Siswa Revisi 2014


6). Misalkan ada suatu fungsi f dari x ke 4x - 2.
a. Tentukan rumus fungsinya .
b. Tentukan bayangan (daerah hasil) dari 2, -2, 4, -4, , dan .
c. Jika 8 adalah bayangan dari p, tentukanlah nilai p .

Jawab:
a. 
f(x)=4x-2
b. 
f(2)=4.2-2=6
f(-2)=4×-2-2=-10
f(4)=4×4-2=14
f(-4)=4×-4-2=-18
c. 
f(p)=8
4p-2=8
4p=10
p=2,5

7). Fungsi f ditentukan oleh f(x) = ax + b. Jika bayangan dari -3 adalah -15 dan bayangan dari 3 adalah 9, tentukan nilai dari f(-2) + f(2) .

Jawab:
F(x) = ax +b
9 = a(3) +b
9 = 3a +b
f(x) = ax +b
-15 = a(-3) +b
-15 = -3a +b
3a +b = 9
-3a +b = -15 +
2b = -6
b = -3

3a +b = 9
3a +(-3) = 9
3a -3 = 9
3a = 9 +3
3a = 12
a = 4

f(x) = ax +b
f(-2) = 4(-2) +(-3) 
= -8 +(-3)
= -11

f(x) = ax +b
f(2) = 4(2) +(-3)
= 8 +(-3)
=5

f(-2) +f(2)
=-11 +5
=-6

8). Fungsi f ditentukan oleh f(x) = ax + b. Jika himpunan pasangan berurutannya adalah (p , -3); (-3 , q); (2 , -2); dan (-2 , 6) terletak pada grafik fungsi tersebut. Tentukan nilai p, q, dan r .

Jawab:
F(x) = ax +b
f(2) = a(2) +b = -2
= 2a +b = -2

f(x) = ax +b
f(-2) = a(-2) +b = 6
= -2a +b = 6

2a +b = -2
-2a +b = 6 -
4a = -8
a = -8/4
a = -2

2a +b = -2
2(-2) +b = -2
-4 +b = -2
b = -2 +4
b = 2
Sehingga, rumus fungsinya adalah f(x) = -2x +2

f(x) = -2x +2
f(p) = -2(p) +2 = -3
= -2p +2 = -3
= -2p = -3 -2
= -2p = -5
= p = -5/-2
= p = 2,5

f(-3) = -2(-3) +2 = q
= 6 +2 = q
= 8 = q
= q = 8
Jadi, nilai p = 2,5 dan q = 8.


9). Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(x) = – 2x + 3.
a. Tentukan bayangan dari – 2 dan 3.
b. Jika f(a) = – 7, tentukan nilai a .

Jawab:
F(x)= -2x+ 3

a. Bayangan dari -2:
f(-2)=-2(-2)+3
f(-2)=4+3
f(-2)=7
Bayangan dari -2 adalah 7
Bayangan dari 3
f(3)= -2(3)+3
f(3)= -6+3
f(3) = -3
Bayangan dari 3 adalah -3

b.f(x)= -2x+3
f(a) =-2(a)+3
f(a)= -2a+3

-2a+3 = -7
-2a = -7-3
-2a = -10
a = -10/-2
a =5
Nilai a adalah 5

10). Sebuah rumah mempunyai bak penampung air. Melalui sebuah pipa, air dialirkan dari bak penampungan ke dalam bak mandi. Volume air dalam bak mandi setelah 5 menit adalah 25 liter dan setelah 10 menit adalah 50 liter. Volume air dalam bak mandi setelah dialiri air selama t menit dinyatakan sebagai V(t) = (V0 + at) liter, dengan V0 adalah volume air dalam bak mandi sebelum air dialirkan dan a adalah debit air (volume air) yang dialirkan setiap menit.
a. Tentukan volume air dalam bak mandi sebelum air dialirkan .
b. Berapa volume air dalam bak mandi setelah 15 menit ?

Jawab:
V(t) = Vo + at
V(5) = Vo + 5a
25 = Vo + 5a ... (1)

V(10) = Vo + 10a
50 = Vo + 10a ... (2)

Eliminasi Vo dari persamaan (1) dan (2)
(2) - (1)
25 = 5a
a = 5 liter/menit

25 = Vo + 5a
25 = Vo + 5*5
Vo = 0 liter
Jadi Volume awal bak = 0 liter (bak kosong)

b. Volume bak setelah 15 menit
V(15) = Vo + 5 * 15
V(15) = 0 + 75
V(15) = 75 liter
Jadi Volume bak setelah 15 menit adalah 75 liter

Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014

Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014


Latihan 3.2

1. Diketahui A = {0, 1, 4, 9} dan B = {0, 1, 2, 3, 4}.
a. Tentukan relasi yang merupakan fungsi dari A ke B
b. Sajikan relasi tersebut dengan diagram panah
c. Sajikan relasi tersebut dengan rumus
d. Sajikan relasi tersebut dengan tabel
e. Sajikan relasi tersebut dengan grafik

Jawab:
Ingat : relasi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi jika setiap anggota A hanya mempunyai satu pasangan saja di B

a) Relasi yang mungkin merupakan fungsi dari A ke B adalah "PANGKAT DUA DARI"
karena
0 "pangkat dua dari" 0
1 "pangkat dua dari" 1
4 "pangkat dua dari" 2
9 "pangkat dua dari" 3

b) untuk diagram panah, simak di bawah ini:
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014
c) Rumus dari relasi tersebut adalah f(x) = √x dengan x ∈ A
f(0) = √0 = 0
f(1) = √1 = 1
f(4) = √4 = 2
f(9) = √9 = 3 

d) Untuk tabel simak di bawah ini:
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014

e) Untuk grafik silahkan simak di bawah ini:
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014



2). Diketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {6, 8, 10, 12} dengan rumus fungsi f(x) = 3x - 4
a. Tentukan f(6) , f(8), f(10) dan f(12). Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?
b. Nyatakan fungsi tersebut dengan tabel
c. Tentukan daerah hasilnya
d. Nyatakan fungsi tersebut dengan grafk

Jawab:
a) f(x) = 3x - 4
f(6) = 3(6) - 4 = 18 - 4 = 14
f(8) = 3(8) - 4 = 24 - 4 = 20
f(10) = 3(10) - 4 = 30 - 4 = 26
f(12) = 3(12) - 4 = 36 - 4 = 32
Kesimpulannya adalah fungsi f(x) merupakan fungsi satu - satu dan nilainya semakin besar

b). 
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014


c) daerah hasinya adalah : R = {14, 20, 26, 32}, 
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014


3). Diketahui suatu fungsi h dengan rumus h(x) = ax + 9. Nilai fungsi h untuk x = 3 adalah -6.
a. Coba tentukan nilai fungsi h untuk x = 6.
b. Tentukan rumus fungsi h. Jelaskan caramu.
c. Berapakahkah nilai elemen domain yang hasilnya positif

Jawab: 
Pertama kerjakan soal "b" terlebih dahulu

b). 
Dengan h(x) = ax + 9
Dengan h(3) = -6
Dengan substitusi x = 3 pada f(x) menyebabkan:
h(3) = a(3) + 9
-6 = 3a + 9
3a = -6 - 9
3a = -15
a = -5
Maka, h(x) = -5x + 9

a.)
Nilai fungsi h untuk x = 6
h(6) = -5(6) + 9
h(6) = -30 + 9
h(6) = -21

c.)
Agar domain positif, tentu:
h(x) > 0
-5x + 9 > 0
-5x > -9
Dengan dibagi kedua ruas dengan (-5), tanda pertidaksamaan berubah tanda menjadi:
x < 9/5
Maka, elemen domain agar hasilnya positif adalah {x | x < 9/5, x E R}

4). Fungsi n dari Himpunan Bilangan Real R ke Himpunan Bilangan Real R didefnisikan dengan
grafik sebagai berikut:

Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014
Nyatakan fungsi di atas dengan cara:
a. pasangan berurutan
b. diagram panah
c. Tabel

Jawab:
Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri.
Contohnya :
0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2

a) Pasangan berurutan
(0,0), (1,1), (2,2), (1/2, 1/2), (4/7, 4/7), ...dst

b). Diagram panah
0 → 0
1 → 1
2 → 2
1/2 → 1/2
4/7 → 4/7
....dst 
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014
c.) Tabel
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014

4).  Perhatikan gambar berikut:
Soal Dan Pembahasan Matematika Latihan 3.2 Kelas 8 Buku Siswa Revisi 2014

Berikut merupakan contoh fungsi dan bukan contoh fungsi dari gambar di atas
a. Relasi telur ke wadah disebut dengan fungsi (Gambar 3.4). Mengapa?
b. Sedangkan relasi dari wadah ke telur disebut dengan bukan fungsi (Gambar 3.3 dan 3.4) Mengapa?
    Carilah contoh lain yang ada di sekitar kalian yang merupakan fungsi dan bukan fungsi

Jawab:
a. karena pasti setiap telur mendapatkan tempat/wadah satu persatu
b. karena pasti masih ada tempat/wadah yang kosong jika kita memasangkan wadah dengan telur

atau

a. karena, setiap anggota himpunan A dapat memetakan satu-satu ke anggota himpunan B.
b. karena, anggota A hanya dapat memetakan 1 anggotanya ke anggota himpunan B 
contoh Misalnya hubungan antara siswa dengan kegemarannya, hubungan orang tua dengan penghasilannya, hubungan anak dengan mainan kesukaannya, dan sebagainya. 

5). Fungsi f didefnisikan dengan rumus f(x) = 5 – 3x dengan daerah asal {–2, –1, 0, 1, 2, 3}
a. Buatlah tabel dan himpunan pasangan berurutan dari fungsi tersebut
b. Gambarlah garfk fungsinya 

Jawab :
Diketahui f(x) = 5 - 3x
Himpunan daerah asal adalah {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Untuk x = -2,
f(-2) = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11
untuk x = -1,
f(-1) = 5 - 3(-1) = 5 + 3 = 8
untuk x = 0,
f(0) = 5 - 3(0) = 5 - 0 = 5
untuk x = 1,
f(1) = 5 -3(1) = 5 - 3 = 2
untuk x = 2,
f(2) = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1
untuk x = 3,
f(3) = 5 - 3(3) = 5 - 9 = -4

a). tabel
x || -2 -1 0 1 2 3 
____________________________
f(x) || 11 8 5 2 -1 -4
Himpunan pasangan berurutan, yaitu : {(-2, 11), (-1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, -1),(3, -4)}.

6). Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(x) = – 3x + 6.
a. Tentukan bayangan dari – 3 dan 2
b. Jika f(a) = – 9, tentukan nilai a.

Jawab :
a. Diketahui f(x) = -3x + 6.
Bayangan dari x oleh f ditulis f(x).
Bayangan dari -3 oleh f ditulis f(-3). Kemudian,
f(-3) = -3(-3) + 6
⇔ f(-3) = 9 + 6
⇔ f(-3) = 15
Bayangan dari 2 oleh f ditulis f(2). Kemudian,
f(2) = -3(2) + 6
⇔ f(2) = -6 + 6
⇔ f(2) = 0 

b. f(a) = -9
⇔ -3a + 6 = -9
⇔ -3a = -9 - 6
⇔ -3a = -15
⇔ a = 15/3
⇔ a = 5
Jadi, nilai a = 5 bila f(a) = -9.


Soal & Pembahasan Matematika Latihan 3.1 Buku Siswa kelas 8 Bab Fungsi

Soal & Pembahasan Matematika Latihan 3.1 Buku Siswa kelas 8 Bab Fungsi


Latihan 3.1 

1). Perhatikan aturan sandi:
Soal & Pembahasan Matematika Latihan 3.1 Buku Siswa kelas 8 Bab Fungsi

Tulislah arti pesan sandi berikut:
a. gkqfu zxqax qrqsqi uxkxax atzoaq ro kxdqi
b. uxkxax qrqsqi gkqfu zxqax ro ltagsqi
Sandikan pesan berikut:
c. SAYA ANAK INDONESIA
d. MATEMATIKA ADALAH KEHIDUPANKU 

Jawab: 
Rumus fungsi tersebut cukup mudah yaitu tinggal menyamakan saja, misal: 
A → q
B → w
C → e
D → r
E → t
F → y
G → u 
...dst 
a. gkqfu zxqax qrqsqi uxkxax atzoaq ro kxdqi 
bacanya : Orang tuaku adalah guruku ketika di rumah 
b. uxkxax qrqsqi gkqfu zxqax ro ltagsqi 
bacanya : Guruku adalah orang tuaku di sekolah 
c. SAYA ANAK INDONESIA 
kita tulis sandinya : Lqnq qfqa ofrgftloq 
d. MATEMATIKA ADALAH KEHIDUPANKU 
kita tulis sandinya : Dqztdqzoaq qrqsqi atiorxhqfax 

2). Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 6} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
a. Jika dari P ke Q dihubungkan relasi “setengah dari”, tentukan himpunan anggota P yang mempunyai pasangan di Q.
b. Jika dari Q ke P dihubungkan relasi “kuadrat dari”, tentukan himpunan anggota Q yang mempunyai pasangan di P. 

Jawab: 
a. {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(6,12)} 
b. {(4,2)} 

3). Diketahui himpunan A adalah himpunan kuadrat sempurna antara 1 sampai dengan 100 dan himpunan B adalah himpunan bilangan kelipatan tiga antara 1 sampai dengan 100. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke B adalah akar dari.
a. Sebutkan anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota himpunan B
b. Sebutkan semua pasangan berurutan dari relasi tersebut?
c. Apakah relasi di atas merupakan fungsi ?
d. Tentukan domain, kodomain dan daerah hasil 

Jawab: 
Relasi yang menghubungkan himpunan A ke B adalah akar dari 

a) Anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota himpunan B 
A = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99} 

b) Semua pasangan berurutan dari relasi akar dari 
HPB = {(9, 81)} 
Relasi kuadrat dari 
HPB = {(9, 3), (36, 6), (81, 9)} 

c) tidak merupakan fungsi 
karena tidak memasangkan semua anggota domain. 

d) domain = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} 
kodomain = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99} 
daerah hasil = {81} (relasi akar dari) 
daerah hasil = {3, 6, 9} (relasi kuadrat dari) 

4). Diketahui K = { p, q } dan L = {2, 3, 4}
a. Buatlah semua pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B yang membentuk fungsi
b. Tentukan banyaknya fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B. 

Jawab: 
a. Menuliskan semua pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B yang membentuk fungsi. 
Jawabannya adalah 
{(p, 2), (q, 2)}, 
{(p, 3), (q, 3)}, 
{(p, 4), (q, 4)}, 
{(p, 2), (q, 3)}, 
{(p, 2), (q, 4)}, 
{(p, 3), (q, 4)}, 
{(p, 3). (q, 2)}, 
{(p, 4), (q, 2)}, dan 
{(p, 4), (q, 3)}. 

b. Menentukan banyaknya pemetaan atau fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B 
Perhatikan, banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = 2 (yaitu p dan q), sedangkan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = 3 (yaitu 2, 3, dan 4). Maka banyaknya fungsi adalah 32 = 9 
Soal & Pembahasan Matematika Latihan 3.1 Buku Siswa kelas 8 Bab Fungsi



5). Buatlah dua himpunan yang relasinya adalah faktor dari 

Jawab: 
contoh dua himpunan dengan relasi faktor dari : 
A = {1, 2, 3, 4, 5} => domain 
B = {2, 4, 6, 8, 10} => kodomain 
1 adalah faktor dari 2, 4, 6, 8, 10 
2 adalah faktor dari 2, 4, 6, 8, 10 
3 adalah faktor dari 6 
4 adalah faktor dari 8 
5 adalah faktor dari 10 
Himpunan pasangan berurutannya adalah 
= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

Soal Dan Pembahasan Uji Kompetensi 1 Matematika Kelas 8 Bab 1 Sistem Koordinat K13



Uji kompetensi 1 
Bab Sistem Koordinat

1). Gambarlah titik A(1, -2), B(-3, 6), C(2, 8), dan D(-1, -5) pada koordinat Kartesius:
a. Tentukan titik-titik yang berada pada kuadran I, II, III, dan IV.
b. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-x
c. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-y
Jawab:
Titik koordinat A (1, −2), B (−3, 6), C (2, 8), dan D (−1, −5)

 a. Titik-titik yang berada pada kuadran I, II, III, dan IV.

Titik yang berada pada kuadran I adalah titik C
Titik yang berada pada kuadran II adalah titik B
Titik yang berada pada kuadran III adalah titik D
Titik yang berada pada kuadran IV adalah titik A
 b. Jarak setiap titik dengan sumbu-x

Jarak titik A = 2 satuan
Jarak titik B = 6 satuan
Jarak titik C = 8 satuan
Jarak titik D = 5 satuan
 c. Jarak setiap titik dengan sumbu-y

Jarak titik A = 1 satuan
Jarak titik B = 3 satuan
Jarak titik C = 2 satuan
Jarak titik D = 1 satuan


2). Gambarlah titik A(-4, 2), B(-4, 9), C(2, 2), dan D(3, 9), pada koordinat Kartesius
a. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-x
b. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-y
c. Tentukan jarak antara titik A dengan titik B
d. Tentukan jarak antara titik C dengan titik D
Jawab:
a. Jarak setiap titik dengan sumbu-x
Jarak titik A = 2 satuan
Jarak titik B = 9 satuan
Jarak titik C = 2 satuan
Jarak titik D = 9 satuan
b. Jarak setiap titik dengan sumbu-y
Jarak titik A = 4 satuan
Jarak titik B = 4 satuan
Jarak titik C = 2 satuan
Jarak titik D = 3 satuan
c. Jarak antara titik A dengan titik B adalah 7 satuan
d. Jarak antara titik C (2, 2), dan D (3, 9)
CD² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
= (3 - 2)² + (9 - 2)²
= 1² + 7²
= 1 + 49
= 50
CD = √50
CD = 5√2
CD = 7,07 satuan
Jadi jarak titik C terhadap titik D adalah 7,07 satuan

3). Gambarlah 4 titik pada bidang koordinat yang berjarak sama terhadap titik A(3 , -6)!
Jawab:
Keterangan:
Titik B , titik C , titik D dan titik E berjarak sama terhadap titik A , yaitu berjarak 5 satuan
Titik B berjarak 5 satuan keatas dari titik A
Titik C berjarak 5 satuan kekanan dari titik A
Titik D berjarak 5 satuan kebawah dari titik A
Titik E berjarak 5 satuan kekiri dari titik A

4). Ada berapa titik yang berjarak 5 dari sumbu-x dan 7 dari sumbu-y? Tunjukkan!
Jawab:
Ada 4 titik yaitu titik K dengan koordinat (-7.5) , titik L dengan koordinat (7,5) , titik M dengan koordinat (7,-5) dan titik N dengan koordinat (-7,-5) 

5). Gambarlah garis l melalui titik P(-3, 5) yang sejajar dengan sumbu-x dan tegak lurus dengan
sumbu-y
Jawab:

6). Gambarlah garis m melalui titik Q(2, 3) yang tidak sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y!
Jawab:

7). Gambarlah garis t yang melalui titik D(-2, 5) yang tidak tegak lurus terhadap sumbu-x dan tidak tegak lurus terhadap sumbu-y!
Jawab:

8). Gambarlah garis h yang melalui titik P(-2, -4) yang tidak sejajar dengan sumbu-y dan tidak
sejajar dengan sumbu-x!
Jawab:

9). Gambarlah 4 titik yang memiliki jarak yang sama terhadap garis yang melalui titik A(4, -2) dan B(-2, 6) dan tentukan koordinat dari keempat titik tersebut!
Jawab:
Keterangan koordinatnya:
A' (4 , 2)
A" (-4 , -2)
B' (-2 , -6)
B" (2 , 6)

10). Gambarlah 3 garis yang berpotongan dengan sumbu x dan sumbu y dan melalui titik Q(2, 7)!
Jawab:

11). Jika garis k sejajar dengan garis m, dan keduanya tegak lurus terhadap sumbu-y, apakah kedua garis tersebut memiliki jarak yang sama dengan sumbu-x? Jelaskan jawabanmu?
Jawab:
. Tidak, karena walaupun kedua garis tersebut sama2 tegak lurus pada sumbu Y , belum tentu keduanya memiliki jarak yg sama pada sumbu X.

12). Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus, tapi tidak sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Kemudian hubungkan beberapa titik yang melalui kedua garis tersebut dan membentuk bangun datar. Ada berapa banyak bangun datar yang kalian temukan?
Jawab:
Bangun datar yang terbentuk adalah
(1). Persegi
(2). Belah ketupat
(3). Layang-layang
(4). Segitiga siku-siku
(5). Segitiga sama kaki
(6). Segitiga sama sisi
Semua bangun datar tersebut memiliki kesamaan yakni dua ruas garis yang saling berpotongan dan tegak lurus. Persegi, belah ketupat, dan layang-layang memiliki diagonal-diagonal yang saling tegak lurus. 

13). Dua buah titik koordinat suatu bangun adalah (-4, 0) dan (2, 0).
a. Tentukan titik koordinat ketiga yang berada di atas sumbu-x supaya membentuk segitiga sama sisi.
b. Tentukan dua titik koordinat lain yang berada di atas sumbu-x supaya membentuk persegi.
Jawab:
a. Titik A = ( -4 , 0 )
Titik B = ( 2 , 0 )
Titik tengah garis AB = 1/2 [ 2 + (-4) ] = -1 ---> ( -1 , 0 )
Panjang garis AB = 2 - (-4) = 6
1/2 AB = 3
Titik C ---> titik sudut ketiga pada ∆ ABC
Tinggi ∆ ABC = y
y = √[ ( BC )² - ( 1/2 AB )² ] ---> BC = AB = 6
= √[ 6² - 3² ]
= √[ 36 - 9 ]
= √27
= 3√3
Koordinat titik C = ( -1 , 3√3 )
b. Panjang sisi AB = 6
2 titik yang lain :
Titik C ---> (2 ,6)
Titik D ---> (-4 ,6)

14). Diketahui segitiga sama kaki XYZ, dengan XY = YZ, XZ = 8 satuan, dan garis tinggi dari Y memiliki panjang 5 satuan. Tentukan titik-titik koordinat segitiga XYZ untuk setiap syarat berikut:
a. X berada pada titik asal, XZ berada di sumbu-x, dan Y berada di kuadran I
b. XZ berada di sumbu-x, sumbu-y adalah garis simetri, dan koordinat y titik Y adalah positif.
Jawab:
Jawaban Soal (a).
Koordinat titik X (0, 0)
Koordinat titik Y (4, 5)
Koordinat titik Z (8, 0)

Jawaban Soal (b).
Kemungkinan Pertama 
Koordinat titik X (-4, 0)
Koordinat titik Y (0, 5)
Koordinat titik Z (4, 0)

Kemungkinan Kedua
Koordinat titik X (4, 0)
Koordinat titik Y (0, 5)
Koordinat titik Z (-4, 0)

Soal dan Pembahasan Latihan 1.3 Matematika Kelas 8 Bab 1 Sistem Koordinat

Latihan 1.3 

1). Gambarlah garis l yang tegak lurus dengan sumbu-x berada di sebelah kanan dan berjarak 5 satuan dari sumbu-y!
Jawab:
www.allmipa.com

2). Gambarlah garis m yang tegak lurus dengan sumbu-y berada di bawah dan berjarak 4 satuan dari sumbu-x!
Jawab:
www.allmipa.com
www.allmipa.com


3). Gambarlah garis n yang tidak sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y!
Jawab:
www.allmipa.com

4). Jika ada garis a melalui titik B(4,5) dan titik C(4,-5), bagaimanakah kedudukan garis tersebut
terhadap sumbu-x dan sumbu-y?
Jawab:
Jika ada garis a melalui titik B(4, 5) dan titik C(4, −5),
Kedudukan garis a tegak lurus terhadap sumbu-x dan sejajar terhadap sumbu-y
www.allmipa.com

5). Gambarlah garis k yang melalui titik P(-3,-5) yang tidak sejajar dengan sumbu-y dan tidak sejajar dengan sumbu-x!
Jawab:
www.allmipa.com

6). Apabila dua garis l dan m memotong sumbu-x dan sumbu-y tidak tegak lurus, bagaimanakah posisi garis l terhadap garis m? Jelaskan kemungkinannya dan tunjukkan dengan gambar?
Jawab:
Garis L dan garis M memotong sumbu x dan y, kedua garis tdk tegaklurus. 
Kemungkinan posisi garis L thd garis M :
• garis L sejajar garis M, jika gradiennya sama.
mL = mM
Misal :
garis L : 2x + 3y = 6 ---> mL = -3/2
garis M : -2x + -3y = 6 ---> mM = -3/2
• garis L memotong garis M, jika gradiennya tidak sama.
mL ≠ mM
Misal :
garis L : 2x + 3y = 6 ---> mL = -3/2
garis M : 4x - 5y = -32 ---> mM = 5/4
titik potong = A(-3,4)
Krn berpotongan, kdua garis membentuk sudut θ :
tan θ = | (mL - mM) / (1 + mL . mM) |
cara 2:
Apabila dua garis l dan m memotong sumbu-x dan sumbu-y tidak tegak lurus, bagaimanakah posisi garis l terhadap garis m?
Ada dua kemungkinan posisi garis l terhadap garis m yaitu :
1. Kedua garis saling berpotongan (bersilangan) karena garis l dan garis m memotong sumbu-x dan sumbu-y.
2. Kedua garis sejajar karena gails l dan garis m memiliki jarak yang selalu sama atau tetap.




7). Diketahui titik A(5,6), B(3,-3) dan C(-4,6).
a. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan B, bagaimanakah kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-x dan sumbu-y
b. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan C, bagaimanakah kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-x dan sumbu-y
c. Jika dibuat garis yang melalui titik B dan C, bagaimanakah kedudukan garis tersebut terhadap sumbu-x dan sumbu-y 
Jawab:
Diketahui ttitik A(5, 6), B(3, −3) dan C(−4, 6).
a. titik A(5, 6), B(3, −3),
Kedudukan garis melalui titik A(5, 6), B(3, −3) adalah memotong sumbu-x, tidak sejajar atau tidak tegak lurus terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
b. melalui titik A (5 , 6) dan C (-4 , 6)
Kedudukan garis melalui titik A (5 , 6) dan C (-4 , 6) adalah sejajar terhadap sumbu-x dan tegak lurus terhadap sumbu-y
c. melalui titik B (3 , -3) dan C (-4 , 6)
Kedudukan garis melalui titik B (3 , -3) dan C (-4 , 6) adalah memotong sumbu-x dan sumbu-y, tidak sejajar atau tidak tegak lurus terhadap sumbu-x dan sumbu-y.



8). Diketahui garis l1 melalui titik A(1,0), garis l2 melalui titik B(3,0), garis l3 melalui titik C(6,0), dan garis l4 melalui titik D(10,0). Tentukan koordinat titik J pada garis l10!
www.allmipa.com
Jawab:
Diketahui :
garis l₁ melalui titik a(1, 0)
garis l₂ melalui titik b(3, 0)
garis l₃ melalui titik c(6, 0)
garis l₄ melalui titik d(10, 0), t
Tentukan koordinat titik j pada garis l₁₀ ...
Pembahasan :
Kita lihat pola koordinatnya : (x, y) 
dengan
x = 1, 3, 6, 10, ...
y = 0, 0, 0, 0, ...
1 .... 3 .... 6 ... 10
.. +2 .. +3 .. +4
...... +1 .. +1
Bilangan pertama pada baris 1 => a + b + c = 1
Bilangan pertama pada baris 2 => 3a + b = 2
Bilangan pertama pada baris 3 => 2a = 1
2a = 1
=> a = 1/2
3a + b = 2
=> 3(1/2) + b = 2
=> 3/2 + b = 4/2
=> b = 1/2
a + b + c = 1
=> 1/2 + 1/2 + c = 1
=> 1 + c = 1
=> c = 0
Jadi
Un = an² + bn + c
Un = 1/2 n² + 1/2 n + 0
Un = 1/2 n (n + 1)
Jadi l₁₀ melalui titik dengan
x = 1/2 . 10 . (10 + 1)
x = 1/2 . 10 . 11
x = 55
Koordinat titik J adalah (55, 0)

Cara lain :

Pola 1 = 1
Pola 2 = 3 = 1 + 2
Pola 3 = 6 = 1 + 2 + 3
Pola 4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4

Jadi pola 10
= 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 10
= n/2 (a + Un)
= 10/2 (1 + 10)
= 5 (11)
= 55
Jadi koordinat titik J adalah (55, 0)

Cara langsung

A(1, 0) = (0+1, 0)
B(3, 0) = (1+2, 0)
C(6, 0) = (3+3, 0)
D(10, 0) = (6+4, 0)
E(15, 0) = (10+5, 0)
F(21, 0) = (15+6, 0)
G(28, 0) = (21+7, 0)
H(36, 0) = (28+8, 0)
I(45, 0) = (36+9, 0)
J(55, 0) = (45+10, 0)
Jadi, koordinat titik J adalah (55, 0)

9). Poligon IJKL digambar dalam bidang koordinat sehingga I berada pada titik asal dan IJ berada pada sumbu-x. Titik koordinat I, J, dan L diketahui. Tentukan koordinat titik K dalam variabel a, b, dan c. Apakah IL dan JK sejajar? Jelaskan bagaimana kalian mengetahuinya!
www.allmipa.com

Jawab:
Penjelasan :
Garis-garis yang sejajar pada poligon IJKL adalah :
garis IJ sejajar dengan garis LK dan
garis IL sejajar dengan garis JK
Alasan kenapa garis IL sejajar dengan garis JK adalah
Karena jarak kedua garis sama, yaitu selisih absis titik I dan absis titik J sama dengan selisih absis titik L dan absis titik K.

*cara mengetahui titik koordinat K adalah
K (a+b , c)
*contoh atau pembuktian :
titik I (0 , 0)
titik J (5 , 0) → a = 5
titik L (2 , 3) → b = 2 dan c = 3
titik K (a+b , c)
K (5+2) , 3)
K (7 , 3)
Jadi titik koordinat K (7 , 3)

10).Persegipanjang ABCD memiliki panjang AB = 10 satuan dan AD = 8 satuan. Tentukan titiktitik koordinat persegipanjang untuk setiap syarat berikut.
a. AB berada pada sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetrinya.
b. sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetrinya.
Jawab:
a. Jika sumbu y sebagai sumbu simetri maka koordinat A = (-5,0), B=(5,0), C=(5,8), D=(-5,8)
www.allmipa.com


b. Jika sumbu-x dan sumbu y sebagai sumbu simetri, maka A=(-5,-4), B=(5,-4), C=(5,4), D=(-5,4)
www.allmipa.com