1. KOMBINASI LINEAR
Definisi
Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor –
vektor v1, v2,…,vn bila w bisa dinyatakan sebagai :
w = k1v1 + k2v2
+ … + knvn , dengan k1,k2,…,kn
adalah skalar.
TEOREMA
Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan
vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari V
Baca Juga: Sejarah sebenarnya penemuan barisan Fibonacci
Baca Juga: Sejarah sebenarnya penemuan barisan Fibonacci
CONTOH SOAL
KOMBINASI LINEAR
Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah
c merupakan kombinasi linear dari a dan b?
Jawab:
Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka
dapat ditentukan dengan c = k1a + k2b
(1, 3) = k1(1, 2) + k2(-2, -3)
(1, 3) = (1k1, 2k1) + (-2k2,
-3k2)
Maka dapat dinyatakan 1 = k1 – 2k2
dan 3 = 2k1 – 3k2 Sehingga diperoleh pengenyelesaian k1
= 3 dan k2 = 1
Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan
dinyatakan dengan c = 3a + b
2. MEMBANGUN (MERENTANG)
Definisi
Himpunan vektor S = {s1, s2, ... , sn}
dimana s1, s2, ... , sn Î V disebut membangun jika setiap v Î V, v
merupakan kombinasi linear dari S ,yaitu : v = k1s1 + k2s2 +…+ knsn,
dengan k1,k2,…,kn adalah skalar.
CONTOH SOAL
MEMBANGUN
Vektor-vektor
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) merentang R3.
Jawab
:
Misal x = (x1, x2, x3) Є R3
sehingga akan dibuktikan k1i + k2j + k3k = x
Jadi semua vector di R3 dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear i, j, k; sehingga i, j, k membangun R3.
Baca juga: Persamaan Differensial beserta soal dan Pembahasan Lengkap
Baca juga: Persamaan Differensial beserta soal dan Pembahasan Lengkap
CONTOH LAIN
●
Polinom-polinom 1, x, x2, ... , xn
membangun ruang vektor Pn, karena polinom p pada Pn dapat
dituliskan sebagai p = a0
+ a1 x + a2 x2 +...+ an xn
●
Yang merupakan kombinasi linear dari 1, x, x2,
... , xn
3. BEBAS DAN BERGANTUNG LINEAR
Definisi
Jika S = {v1, v2, v3,
……………,vn}adalah himpunan vector sedemikian sehingga, k1v1
+ k2v2 + … + knvn = 0 maka S = {v1,
v2, v3,..., vn} disebut :
1. Bebas
linier apabila scalar-skalar k1, k2,…,kn
semuanya nol.
2. Bergantung
linier apabila scalar-skalar k1, k2, k3,…, kn tidak semuanya nol.
CIRI-CIRI BEBAS DAN
BERGANTUNG LINEAR
●
Himpunan vector S bebas linier jika system
persamaan linier hanya mempunyai penyelesaian trivial (nol).
●
Himpunan vector S bergantung linier jika system
persamaan linier mempunyai persamaan non trivial.
●
Vektor S merupakan bebas linear apabila
1. Matrik tersebut
det(S) ≠ 0.
2. Ketiga vector
tersebut mempunyai invers (sehingga dapat dibalik)
LATIHAN
1. Misal
u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas
a. h
= (4, 2, 6)
b. j
= (1, 5, 6)
c.
r = (0, 0, 0)
2. Diketahui
v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2
= (2,3,0,-1) dan u3= (2,-1,2,1). Apakah v merupakan kombinasi linear
dari u1 , u2 dan u3 ?
3. Apakah
polinomial-polinomial berikut ini bebas linier ? p1 = 1 – 2x + 3 x2
, p2 = 5 + 6x – x2 , p3 = 3 + 2x + x2
4. Diketahui
u=(1,2), v=(2,2), w=(1,3).
Tentukan:
a.
Apakah u, v dan
w membangun R2?
b. Apakah
u, v dan w
bebas linier ?
Untuk mengetahui jawaban soal latihan ini silahkan buka>>>>jawaban soal kombinasi linier, bergantung linier, dan bebas linier
Untuk mengetahui jawaban soal latihan ini silahkan buka>>>>jawaban soal kombinasi linier, bergantung linier, dan bebas linier
Ingin mengetahui lebih dalam tentang vektor baca juga kombinasi linier vektor
Mantp, terimakasih
BalasHapus