Untuk membantu anda keluar dari jerat kesulitan mengerjakan soal analisis real 1, saya akan membantu dengan postingan soal analisi real 1 yaitu pembahasan soal latihan 2.1 yang terdapat dalam buku karangan Bartle Dan Sherbert. Mari disimak teman-teman.
Untuk soal no 1
Untuk pembahasan soal di atas, simak pembahasan di bawah ini:
Baca juga:
Soal no 2
Pembahasan soal no 2
soal no 4,5
pembahasan soal no 4,5
soal no 6
6). Buktikan bahwa tidak
ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6
jawab:
Andaikan ada bilangan
rasional s yang memenuhi s2
= 6. Karena s adalah bilangan
rasional, maka kita tuliskan s = p/q,
untuk suatu p,q € Z dimana p dan q relatif prima (atau dengan kata lain
gcd(p,q) = 1). Sekarang,perhatikan bahwa s2 = (p/q)2 = p2/q2
= 6 à p2 = 6q2. Hal ini
berarti p2 adalah genap. Sebagai akibatnya p juga genap. Oleh sebab itu, maka kita bisa tuliskan p= 2m untuk suatu
m € Z. Selanjutnya p2
= (2m)2 = 4m2 = 6q2 <--> 2m2 = 3q2. Hal ini berarti 3q2 adalah genap. Karena 3q2 genap sedangkan 3 adalah ganjil, maka bisa kita simpulkan bahwa q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun, hal ini mengakibatkan q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun hal ini mengakibatkan bahwa p dan q sama-sama genap atau dengan kata lain p dan q tidak relative prima karena gcd(p,q) ≠ 1. Jadi, pengandaian bahwa ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6 adalah tidak benar. Dan haruslah tidak ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6.
= (2m)2 = 4m2 = 6q2 <--> 2m2 = 3q2. Hal ini berarti 3q2 adalah genap. Karena 3q2 genap sedangkan 3 adalah ganjil, maka bisa kita simpulkan bahwa q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun, hal ini mengakibatkan q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun hal ini mengakibatkan bahwa p dan q sama-sama genap atau dengan kata lain p dan q tidak relative prima karena gcd(p,q) ≠ 1. Jadi, pengandaian bahwa ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6 adalah tidak benar. Dan haruslah tidak ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6.
soal no 7
7). Buktikan bahwa tidak
ada bilangan rasional t yang memnuhi t2
= 3
Jawab:
Andaikan ada bilangan
rasional t yang memenuhi t2 = 3. Karena t adalah bilangan rasional,
maka kita bisa menuliskan t = a/b untuk suatu a,b € Z dimana a dan b relatif prima
(atau dengan kata lain gcd(a,b) = 1). Sekarang perhatikan bahwa t2 =
. Hal ini berarti a2 habis
dibagi 3. Namun hal ini mengakibatkan bahwa a juga habis dibagi 3 (mengingat
jika a = 3m + 1, maka a2 = (3m + 1)2 = 3(3m2 +
2m) + 1. Atau jika a = 3m + 2, maka a2 = (3m + 2)2 = 3(3m2
+ 4m + 1) + 1, untuk suatu m € Z ). Selanjutnya kita bisa tuliskan a2 = (3m)2
= 9m2 = 3b2 <--> 3m2 = b2.
Namun hal ini mengakibatkan b2 habis dibagi 3. Dan selanjutnya, kita
tahu bahwa b juga habis dibagi 3. Sehingga dapat disimpulkan bahwa a dan b
sama-sama habis dibagi 3. Hal ini berkontradiksi dengan asumsi awal yang
mengatakan bahwa a dan b adalah relatif prima.
soal no 8
8). a) Tunjukkan bahwa
jika x,y adalah bilangan rasional , maka x + y dan xy adalah bilangan rasional
b) Buktikan bahwa,
jika x adalah bilangan rasional dan y adalah bilangan irrasional, maka x + y
adalah bilangan irrasional. Dan jika ditambahkan syarat untuk x ≠ 0, tunjukkan bahwa xy
adalah bilangan irrasional.
jawab:
a). Misalkan x € Q, maka x = a/b, untuk suatu a,b
€ Z dan misalkan y € Q, maka y =
c/d, untuk suatu c,d € Z. Selanjutnya,
perhatikan bahwa: x + y = a/b + c/d = (ad + bc)/bd € Q mengingat bahwa ad + cb €
Z dan b,d € Z. Kemudian dengan cara
yang sama kita dapat menunjukkan bahwa x,y = a/b . c/d = ac/bd € Q mengingat a, c € Z dan b,d € Z.
b). Andaikan x + y € Q, maka x + y = m/n untuk suatu m,n € Z. Sekarang perhatikan
bahwa: x + y = m/n <-> y = m/n – x = m/n – a/b = (mb – an)/nb. Karena m b – a n € Z dan n b € Z, maka y= (mb – an)/nb € Q
yang berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan y Ɇ Q. Jadi haruslah
bahwa x + y Ɇ Q. Selanjutnya andaikan x,y € Q, maka xy = p/q untuk suatu p,q €
Z. Sekarang perhatikan bahwa: xy = p/q . 1/x = p/q . 1/(a/b) = p/q . b/a =
pb/qa. Karena p b € Z, dan q a € Z , maka y = pb/qa € Q. Jadi,
haruslah x y Ɇ Q.
soal no 9.
jawab:
soal no 10
10.
jawab:
Setelah menyimak pembahasan analisis real 2.1 apakah kalian mengalami kesulitan? pasti tidak kan :). Nah untuk menambah pengetahuan dan kemampuan mengerjakan soal tentang analisis real, silahkan baca juga lanjutan pembahasan soal analisis real 1. latihan 2.1 soal np 11-20
Terima kasih. Sangat membantu
BalasHapusjawaban nomor 2 ngak ada ya??
BalasHapusada i
Hapus