Home » , , , , , , , , , » Soal dan jawaban Anril(analisis real) 2.1

Soal dan jawaban Anril(analisis real) 2.1


Untuk membantu anda keluar dari jerat kesulitan mengerjakan soal analisis real 1, saya akan membantu dengan postingan soal analisi real 1 yaitu pembahasan soal latihan 2.1 yang terdapat dalam buku karangan Bartle Dan Sherbert. Mari disimak teman-teman.


Untuk soal no 1

Untuk pembahasan soal di atas, simak pembahasan di bawah ini:

Baca juga: 

Soal no 2





Pembahasan soal no 2








soal no 4,5





pembahasan soal no 4,5







soal no 6 
6). Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6

jawab:
Andaikan ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6. Karena s adalah bilangan rasional, maka kita tuliskan s = p/q, untuk suatu p,q  Z dimana p dan q relatif prima (atau dengan kata lain gcd(p,q) = 1). Sekarang,perhatikan bahwa s2 = (p/q)2 = p2/q2 = 6 à p2 = 6q2. Hal ini berarti p2 adalah genap. Sebagai akibatnya p juga genap. Oleh sebab itu, maka kita bisa tuliskan p= 2m untuk suatu m € Z. Selanjutnya p2
= (2m)2 = 4m2 = 6q2 <--> 2m2 = 3q2. Hal ini berarti 3q2 adalah genap. Karena 3q2 genap sedangkan 3 adalah ganjil, maka bisa kita simpulkan bahwa q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun, hal ini mengakibatkan q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun hal ini mengakibatkan bahwa p dan q sama-sama genap atau dengan kata lain p dan q tidak relative prima karena gcd(p,q) ≠ 1. Jadi, pengandaian bahwa ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6 adalah tidak benar. Dan haruslah tidak ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6.

soal no 7
7). Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional t  yang memnuhi t2 = 3

Jawab:
Andaikan ada bilangan rasional t yang memenuhi t2 = 3. Karena t adalah bilangan rasional, maka kita bisa menuliskan t = a/b untuk suatu a,b € Z dimana a dan b relatif prima (atau dengan kata lain gcd(a,b) = 1). Sekarang perhatikan bahwa t2 =  . Hal ini berarti a2 habis dibagi 3. Namun hal ini mengakibatkan bahwa a juga habis dibagi 3 (mengingat jika a = 3m + 1, maka a2 = (3m + 1)2 = 3(3m2 + 2m) + 1. Atau jika a = 3m + 2, maka a2 = (3m + 2)2 = 3(3m2 + 4m + 1) + 1, untuk suatu m € Z ). Selanjutnya kita bisa tuliskan a2 = (3m)2 = 9m2 = 3b2 <--> 3m2 = b2. Namun hal ini mengakibatkan b2 habis dibagi 3. Dan selanjutnya, kita tahu bahwa b juga habis dibagi 3. Sehingga dapat disimpulkan bahwa a dan b sama-sama habis dibagi 3. Hal ini berkontradiksi dengan asumsi awal yang mengatakan bahwa a dan b adalah relatif prima.

soal no 8
8). a) Tunjukkan bahwa jika x,y adalah bilangan rasional , maka x + y dan xy adalah bilangan  rasional
      b) Buktikan bahwa, jika x adalah bilangan rasional dan y adalah bilangan irrasional, maka x + y adalah bilangan irrasional. Dan jika ditambahkan syarat untuk x ≠ 0, tunjukkan bahwa xy adalah bilangan irrasional.

jawab:
 a). Misalkan x € Q, maka x = a/b, untuk suatu a,b € Z dan misalkan y € Q, maka y = c/d, untuk suatu c,d € Z. Selanjutnya, perhatikan bahwa: x + y = a/b + c/d = (ad + bc)/bd € Q mengingat bahwa ad + cb € Z dan b,d € Z. Kemudian dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa x,y = a/b . c/d = ac/bd € Q mengingat a, c € Z dan b,d € Z.

b). Andaikan x + y € Q, maka x + y = m/n untuk suatu m,n € Z. Sekarang perhatikan bahwa: x + y = m/n <-> y = m/n – x = m/n – a/b = (mb – an)/nb. Karena m b – a n Z dan n b Z, maka y= (mb – an)/nb Q yang berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan y  Ɇ Q. Jadi haruslah bahwa x + y Ɇ Q. Selanjutnya andaikan x,y € Q, maka xy = p/q untuk suatu p,q € Z. Sekarang perhatikan bahwa: xy = p/q . 1/x = p/q . 1/(a/b) = p/q . b/a = pb/qa. Karena p b € Z, dan q a € Z , maka y = pb/qa € Q. Jadi, haruslah x y Ɇ Q.

soal no 9. 



jawab:













soal no 10
10.



jawab:


Setelah menyimak pembahasan analisis real 2.1 apakah kalian mengalami kesulitan? pasti tidak kan :). Nah untuk menambah pengetahuan dan kemampuan mengerjakan soal tentang analisis real, silahkan baca juga lanjutan pembahasan soal analisis real 1. latihan 2.1 soal np 11-20


1 komentar: