Soal dan jawaban Anril(analisis real) 2.1

Andaikan ada bilangan rasional s yang memenuhi s² = 6. Karena s adalah bilangan rasional, maka kita tuliskan s = p/q, untuk suatu p,q €  Z dimana p dan q relatif prima (atau dengan kata lain gcd(p,q) = 1). Sekarang,perhatikan bahwa s² = (p/q)² = p²/q² = 6 à p² = 6q². Hal ini berarti p² adalah genap. Sebagai akibatnya p juga genap. Oleh sebab itu, maka kita bisa tuliskan p= 2m untuk suatu m € Z. Selanjutnya p²
= (2m)² = 4m² = 6q² <--> 2m² = 3q². Hal ini berarti 3q² adalah genap. Karena 3q² genap sedangkan 3 adalah ganjil, maka bisa kita simpulkan bahwa q² adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun, hal ini mengakibatkan q2 adalah genap. Dan sebagai akibatnya, q juga genap. Namun hal ini mengakibatkan bahwa p dan q sama-sama genap atau dengan kata lain p dan q tidak relative prima karena gcd(p,q) ≠ 1. Jadi, pengandaian bahwa ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6 adalah tidak benar. Dan haruslah tidak ada bilangan rasional s yang memenuhi s2 = 6.

soal no 7

7). Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional t  yang memnuhi t² = 3

Jawab:

Andaikan ada bilangan rasional t yang memenuhi t² = 3. Karena t adalah bilangan rasional, maka kita bisa menuliskan t = a/b untuk suatu a,b € Z dimana a dan b relatif prima (atau dengan kata lain gcd(a,b) = 1). Sekarang perhatikan bahwa t² =  . Hal ini berarti a² habis dibagi 3. Namun hal ini mengakibatkan bahwa a juga habis dibagi 3 (mengingat jika a = 3m + 1, maka a² = (3m + 1)² = 3(3m² + 2m) + 1. Atau jika a = 3m + 2, maka a² = (3m + 2)² = 3(3m² + 4m + 1) + 1, untuk suatu m € Z ). Selanjutnya kita bisa tuliskan a² = (3m)² = 9m² = 3b² <--> 3m² = b². Namun hal ini mengakibatkan b² habis dibagi 3. Dan selanjutnya, kita tahu bahwa b juga habis dibagi 3. Sehingga dapat disimpulkan bahwa a dan b sama-sama habis dibagi 3. Hal ini berkontradiksi dengan asumsi awal yang mengatakan bahwa a dan b adalah relatif prima.

soal no 8

8). a) Tunjukkan bahwa jika x,y adalah bilangan rasional , maka x + y dan xy adalah bilangan  rasional

      b) Buktikan bahwa, jika x adalah bilangan rasional dan y adalah bilangan irrasional, maka x + y adalah bilangan irrasional. Dan jika ditambahkan syarat untuk x ≠ 0, tunjukkan bahwa xy adalah bilangan irrasional.

jawab:

 a). Misalkan x € Q, maka x = a/b, untuk suatu a,b € Z dan misalkan y € Q, maka y = c/d, untuk suatu c,d € Z. Selanjutnya, perhatikan bahwa: x + y = a/b + c/d = (ad + bc)/bd € Q mengingat bahwa ad + cb € Z dan b,d € Z. Kemudian dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa x,y = a/b . c/d = ac/bd € Q mengingat a, c € Z dan b,d € Z.

b). Andaikan x + y € Q, maka x + y = m/n untuk suatu m,n € Z. Sekarang perhatikan bahwa: x + y = m/n <-> y = m/n – x = m/n – a/b = (mb – an)/nb. Karena m b – a n € Z dan n b € Z, maka y= (mb – an)/nb € Q yang berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan y  Ɇ Q. Jadi haruslah bahwa x + y Ɇ Q. Selanjutnya andaikan x,y € Q, maka xy = p/q untuk suatu p,q € Z. Sekarang perhatikan bahwa: xy = p/q . 1/x = p/q . 1/(a/b) = p/q . b/a = pb/qa. Karena p b € Z, dan q a € Z , maka y = pb/qa € Q. Jadi, haruslah x y Ɇ Q.

soal no 9. 

jawab:

soal no 10

10.

jawab: