Jumpa lagi kawan mathers disini kita lanjutkan pembahasan soal analisis real 1 section 2.1 yang akan membahas soal no 11-20. Simak baik-baik ya kawan:
SOAL:
11). a)Tunjukkan bahwa
jika a > 0, maka 1/a > 0 dan 1/(1/a) = a
b) Tunjukkan bahwa jika a < b, maka a < ½ (a + b) < b
12). Misalkan a,b,c,d adalah bilangan-bilangan real
yang memenuhi 0 < a < b dan c <
d < 0. Berikan sebuah contoh bilangan-bilangan tersebut yang memenuhi ac < bd. Berikan juga contoh untuk
kasus bd < ac,
13). Jika a,b € R, tunjukkan bahwa a2 + b2 = 0 jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0
14), Jika 0 ≤ a < b tunjukkan bahwa a2 ≤ a b
< b2. Tunjukkan
dengan cara memberikan contoh penyangkal bahwa tidak berlaku a2 < a b < b2.
15). Jika 0 < a <
b, tunjukkan bahwa
a). a < √ab < b
b). 1/b < 1/a
16). Carilah
bilangan-bilangan real x yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan berikut
ini:
a. x2 >
3x + 4
b. 1 < x2
< 4
c. 1/x < x
d. 1/x < x2
17. Buktikan bahwa
jika a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ ԑ untuk setiap ԑ > 0, maka a
= 0
18. Misalkan a, b € Rdan anggap bahwa
untuk setiap ԑ > 0, maka a = 0
19. Buktikan bahwa (1/2 (a + b))2
≤ ½ (a2 + b2) untuk semua a,b € R. Buktikan juga bahwa
kesamaan dari bentuk tersebut berlaku jika dan hanya jika a = b.
20. (a) Jika 0 < c < 1, Buktikan
bahwa 0 < c2 < c < 1
(b) Jika 1 < c, buktikan bahwa 1 < c
< c2
PEMBAHASAN/JAWABAN
12,) Jika dipilih a = 2, b = 3, c = -4 dan d = -2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0. Kemudian perhatikan bahwa: a c = 2 . (-4) = -8 < -6 = 3 . (-2) = bd. Jika dipilih a = 1/2 , b = 6, c = -2 dan d = -1/2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0, kemudian perhatikan bahwa: b d = 6 . (1/2) = -3 < -1 = ½ . (-2) = ac
13.) Bukti ke kanan
Jika a, b € R yang memenuhi a2
+ b2 = 0, maka a = 0 dan b = 0. Kita akan membuktikan kontraposiisi
dari implikasi tersebut benar. Anggap bahwa a ≠ 0 adalah sebarang bilangan real, maka kita
tahu bahwa a2 > 0. Sekarang misalkan b adalah sebarang bilangan
real yang lain. Jika b = 0, maka a2 + b2 = a2
+ 02 = a2 > 0. Jadi, jika a ≠ 0 atau b ≠ 0, maka a2 + b2
≠ 0
Bukti ke Kiri
Jika a = 0 dan b = 0,
maka a2 + b2 = 02 + 02 = 0
14.) Jika 0 ≤ a < b, maka a € P U { 0 }, b € P dan b – a
€ P. Kemudian a b – a2 = a (b – a) € P U {0} hal ini
berarti a2 ≤ ab. Selanjutnya, b2 – ab = b (b –
a) € P hal ini berarti ab < b2. Jadi dapat disimpulkan a2
≤ ab <
b2. Dengan memilih a = 0 dan b = 2, kita tahu bahwa 0 ≤ a < b, namun tidak
benar bahwa a2 < ab, mengingat a2 = 0 = 0 . 2 = ab.
16. (a) { x : x < - 1 atau x > 4}
(b) {x : 1 < x < 2 atau -2
< x < -1}
(c) {x : -1 < x < 0 atau x
> 1}
(d) { x : x < 0 atau x > 1}
17. Anggap bahwa a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ ԑ, untuk semua ԑ > 0.
Andaikan bahwa a > 0, selanjutnya jika dipilih ԑ0 = ½ a > 0, maka 0 < ԑ0 = ½ a < a. hal ini berkontradiksi dengan hipotesis
yang mengatakan bahwa 0 ≤ a ≤ ԑ,
untuk semua ԑ > o. jadi haruslah a
= 0.
19.)
20.) (a) Jika 0 < c < 1, maka 1 – c > 0, lalu kita dapatkan c – c2 = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti c 2 < c. Selanjutnya karena kita tahu bahwa c2 > 0 dan c < 1, maka kita dapat simpulkan bahwa
0 <
c2 < c < 1.
(b) Jika 1 < c,
maka c – 1 > 0 dan c > 0, selanjutnya kita dapatkan bahwa c2 –
c = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti bahwa c < c2. Karena 1 <
c dan c < c2, maka dapat disimpulkan bahwa 1 < c < c2.
Bagaimana kawan sudah tambah wawasan lagi kan tentang materi analisis real 1 ini? pastinya sudah. nah untuk memperdalam lagi tunggu postingan-postingan tentang anril selanjutnya. Terima kasih atas kunjungannya.
Bagaimana kawan sudah tambah wawasan lagi kan tentang materi analisis real 1 ini? pastinya sudah. nah untuk memperdalam lagi tunggu postingan-postingan tentang anril selanjutnya. Terima kasih atas kunjungannya.
makaasiiiiiiiihhhh sangat membantu
BalasHapusMakasih sangat membantu sekaliiiiiii hehehehe
BalasHapusMakasih, sangat membantu sekali heheh
BalasHapusterimakasih, sangat membantu sekali
BalasHapusKereeen, sangat membatu sekalii
BalasHapusTerima kasih kak, sangat membantu
BalasHapus