Lanjutan jawaban soal analisis real 1 (anril) 2.1 no 11-20

Jumpa lagi kawan mathers disini kita lanjutkan pembahasan soal analisis real 1 section 2.1 yang akan membahas soal no 11-20. Simak baik-baik ya kawan: 

SOAL:

11). a)Tunjukkan bahwa jika a > 0, maka 1/a > 0 dan 1/(1/a) = a

 b) Tunjukkan bahwa jika a < b, maka a < ½ (a + b) < b

12). Misalkan a,b,c,d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi 0 < a < b dan c < d < 0. Berikan sebuah contoh bilangan-bilangan tersebut yang memenuhi ac < bd. Berikan juga contoh untuk kasus bd < ac,

13). Jika  a,b € R, tunjukkan bahwa a² + b² = 0 jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0

14), Jika 0 ≤ a < b tunjukkan bahwa a² ≤ a b < b². Tunjukkan dengan cara memberikan contoh penyangkal bahwa tidak berlaku a² < a b < b².

15). Jika 0 < a < b, tunjukkan bahwa

       a). a < √ab < b

       b). 1/b < 1/a

16). Carilah bilangan-bilangan real x yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan berikut ini:

        a. x² > 3x + 4

        b. 1 < x² < 4

        c. 1/x < x

        d. 1/x < x²

17. Buktikan bahwa jika a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ ԑ untuk setiap ԑ > 0, maka    a = 0

18. Misalkan a, b € Rdan anggap bahwa untuk setiap ԑ > 0, maka a = 0

19. Buktikan bahwa (1/2 (a + b))² ≤ ½ (a² + b²) untuk semua a,b € R. Buktikan juga bahwa kesamaan dari bentuk tersebut berlaku jika dan hanya jika a = b.

20. (a) Jika 0 < c < 1, Buktikan bahwa 0 < c² < c < 1

      (b) Jika 1 < c, buktikan bahwa 1 < c < c²

PEMBAHASAN/JAWABAN

11.) 

12,) Jika dipilih a = 2, b = 3, c = -4 dan d = -2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0. Kemudian perhatikan bahwa: a c = 2 . (-4) = -8 < -6 = 3 . (-2) = bd. Jika dipilih a = 1/2 , b = 6, c = -2 dan d = -1/2, maka kita tahu bahwa 0 < a < b dan c < d < 0, kemudian perhatikan bahwa: b d = 6 . (1/2) = -3 < -1 = ½ . (-2) = ac

13.) Bukti ke kanan

Jika a, b € R yang memenuhi a² + b² = 0, maka a = 0 dan b = 0. Kita akan membuktikan kontraposiisi dari implikasi tersebut benar. Anggap bahwa a ≠ 0 adalah sebarang bilangan real, maka kita tahu bahwa a² > 0. Sekarang misalkan b adalah sebarang bilangan real yang lain. Jika b = 0, maka a² + b² = a² + 0² = a² > 0. Jadi, jika a ≠ 0 atau b ≠ 0, maka a² + b² ≠ 0

Bukti ke Kiri

Jika a = 0 dan b = 0, maka a² + b² = 0² + 0² = 0

14.) Jika 0 ≤ a < b, maka a € P U { 0 }, b € P dan b – a € P. Kemudian a b – a² = a (b – a) € P U {0} hal ini berarti a² ≤ ab. Selanjutnya, b² – ab = b (b – a) € P hal ini berarti ab < b². Jadi dapat disimpulkan a² ≤ ab < b². Dengan memilih a = 0 dan b = 2, kita tahu bahwa 0 ≤ a < b, namun tidak benar bahwa a² < ab, mengingat a² = 0 = 0 . 2 = ab.

16. (a) { x : x < - 1 atau x > 4}

 (b) {x : 1 < x < 2 atau -2 < x < -1}

 (c) {x : -1 < x < 0 atau x > 1}

 (d) { x : x < 0 atau x > 1}

17. Anggap bahwa a € R sedemikian hingga 0 ≤ a ≤ ԑ, untuk semua ԑ > 0. Andaikan bahwa a > 0, selanjutnya jika dipilih ԑ₀ = ½ a > 0, maka 0 < ԑ₀ = ½ a < a. hal ini berkontradiksi dengan hipotesis yang mengatakan bahwa 0 ≤ a ≤ ԑ, untuk semua ԑ > o. jadi haruslah a = 0.

18.)

19.)


















20.) (a) Jika 0 < c < 1, maka 1 – c > 0, lalu kita dapatkan c – c² = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti c ² < c. Selanjutnya karena kita tahu bahwa c² > 0 dan c < 1, maka kita dapat simpulkan bahwa 

0 < c² < c < 1.

(b) Jika 1 < c, maka c – 1 > 0 dan c > 0, selanjutnya kita dapatkan bahwa c² – c = c (c – 1) > 0. Hal ini berarti bahwa c < c². Karena 1 < c dan c < c², maka dapat disimpulkan bahwa 1 < c < c².

Bagaimana kawan sudah tambah wawasan lagi kan tentang materi analisis real 1 ini? pastinya sudah. nah untuk memperdalam lagi tunggu postingan-postingan tentang anril selanjutnya. Terima kasih atas kunjungannya.