Gambar disamping memberikan suatu wacana pembelajaran, apa yang anda pikirkan? ya, gambar disamping memperlihatkan bahwa terdapat suatu hubungan yang saling berkaitan terhadap orang yang berwarna merah berada di tengah orang-orang dan dihubungkan oleh garis yang saling berhubungan,.
Garis besar Illustrasi gambar itu kesimpulannya adalah contoh nyata dari suatu materi matematika yang dinamakan Relasi
Refleksif (Reflexive)
Definisi :
Relasi R pada himpunan A disebut
refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A
Definisi
di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A
berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada
himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).
Contoh 1 :
Misalkan
A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
:
Relasi R = {
(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif
karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3),
dan (4,4)
Relasi R =
{(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena
tidak terdapat (3,3).
Contoh
2 :
Relasi
“habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena
setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga
(a,a) Î R
untuk setiap a Î A.
Contoh 3 :
Tiga buah
relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif
R
: x lebih besar dari y
S
: x + y = 5
T
: 3x + y = 10
Mana diantara
ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?
Setangkup (Symmetric) dan Tolak-Setangkup (Antisymmetric)
Definisi Setangkup (Symmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut
setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A
Definisi
di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î R
sedemikian sehingga (b,a) Ï R.
Contoh :
Misalkan
A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R
adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu
jurusan dengan b.
Maka
jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.
Contoh
lain :
Misalkan
T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif sedemikian sehingga (a,b) Î T
jika dan hanya jika a ³ b.
Jelas
dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï T.
Definisi Tolak-Setangkup (antisymmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut
tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b,
untuk semua a,b Î A.
Definisi
di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R
kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak
tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b
sedemikian sehingga (a,b) Î R
dan (b,a) Î R.
Contoh :
Misalkan
A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah
perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat,
dsb).
Terus.....misalkan
R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes
b.
Jadi
jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan
sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda.
Dengan
kata lain, (b,a) Ï R
kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.
Contoh lagi :
Misalkan
A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
Relasi R =
{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena
jika (a,b) Î R
maka (b,a) juga Î R.
Disini (1,2) dan (2,1) Î
R, begitu juga
(2,4) dan (4,2) Î R.
Relasi R =
{(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R
tetapi (3,2) Ï R
Relasi R =
{(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R
dan 1 = 1, (2,2) Î R
dan 2 = 2, (3,3) Î R
dan 3 = 3.
Betulkah bahwa R juga
setangkup ??
Relasi R =
{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R
dan 1 = 1, serta (2,2) Î R dan 2 = 2.
Betulkah bahwa R tidak
setangkup ??
Relasi R =
{(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4)
dan (4,2) anggota R.
Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)}
tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.
Contoh
berikutnya :
Relasi “habis
membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena
jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.
Misalnya,
2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R
tetapi (4,2) Ï R.
Relasi “habis
membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena
jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
Misalnya,
4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.
Contoh lagi ??
Tiga
buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif.
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 6
T : 3x + y = 10
R
bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak
lebih besar dari 5.
S
relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S.
T
tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan
anggota T.
S
bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î S
tetapi 4 ≠ 2.
R
dan T keduanya tolak-setangkup.....buktikan !!!
Menghantar (transitive)
Definisi :
Relasi R
pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua
a,b,c Î
A
Ilustrasinya :
Misalkan
A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R
jika dan hanya jika b adalah keturunan a.
Jika
b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R,
dan c adalah keturunan b, yaitu
(b,c) Î
R maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R.
Jadi,
R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian
sehingga (a,b) Î T
jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.
Contoh 1 :
Misalkan
A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1),
(4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut :
Pasangan
berbentuk
(a,b)
|
(b,c)
|
(a,c)
|
(3,2)
|
(2,1)
|
(3,1)
|
(4,2)
|
(2,1)
|
(4,1)
|
(4,3)
|
(3,1)
|
(4,1)
|
(4,3)
|
(3,2)
|
(4,2)
|
b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)}
tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï R,
begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R.
c) R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
jelas menghantar.....buktikan !!!
Contoh 2 :
Relasi
“habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar.
Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan
positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.
Disini
c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat
menghantar.
Contoh 3 :
Tiga
buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 6
T : 3x + y = 10
R adalah relasi
menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.
S
tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4)
Ï S.
T
tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}
Bagaimana kawan, paham bukan penjelasan tentang materi relasi ini? Nah apabila belum paham, janganlah malu-malu untuk bertanya ya kawan! Terima kasih
0 komentar:
Posting Komentar