Sifat-sifat Relasi



Gambar disamping memberikan suatu wacana pembelajaran, apa yang anda pikirkan? ya, gambar disamping memperlihatkan bahwa terdapat suatu hubungan yang saling berkaitan terhadap orang yang berwarna merah berada di tengah orang-orang dan dihubungkan oleh garis yang saling berhubungan,.
         Garis besar Illustrasi gambar itu kesimpulannya adalah contoh nyata dari suatu materi matematika yang dinamakan Relasi


Refleksif (Reflexive)

Definisi :
 Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).


 Contoh 1 :
 Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).


Contoh 2 :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a,a) Î R untuk setiap a Î A.


Contoh 3 :
 Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif

R : x lebih besar dari y

S : x + y = 5

T : 3x + y = 10

Mana diantara ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?

Setangkup (Symmetric) dan Tolak-Setangkup (Antisymmetric)

 Definisi Setangkup (Symmetric) :
 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A
 Definisi di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î R sedemikian sehingga (b,a) Ï R.

Contoh :
 Misalkan A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan b.

Maka jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.

Contoh lain :
 Misalkan T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif  sedemikian sehingga (a,b) Î T jika dan hanya jika a ³ b.

Jelas dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï T.


 Definisi Tolak-Setangkup (antisymmetric) :

Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.

Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b  sedemikian  sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.

Contoh :
 Misalkan A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat, dsb).
Terus.....misalkan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes b.
Jadi jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda.
Dengan kata lain, (b,a) Ï R kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.

Contoh lagi :
 Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) Î R maka (b,a) juga Î R.
Disini  (1,2) dan (2,1) Î R,  begitu  juga  (2,4)  dan  (4,2) Î R.
Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R tetapi (3,2) Ï R
Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, (2,2) Î R dan 2 = 2, (3,3) Î R dan 3 = 3.
Betulkah bahwa R juga setangkup ??

Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, serta (2,2) Î R dan 2 = 2.
Betulkah bahwa R tidak setangkup ??

Relasi R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4) dan (4,2) anggota R.
Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

Contoh berikutnya :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.
Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï R.
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.

Contoh lagi ??
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif.

        R : x lebih besar dari y

        S : x + y = 6

        T : 3x + y = 10

R bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. 
S relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S.
T tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan anggota T.
S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î S tetapi 4 ≠ 2. 
R dan T keduanya tolak-setangkup.....buktikan !!! 

Menghantar (transitive)

Definisi :
Relasi  R  pada  himpunan  A disebut menghantar jika (a,b) Î R  dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A

Ilustrasinya :
Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.

Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R,  dan c adalah keturunan  b,  yaitu  (b,c) Î R  maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R.

Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.

Contoh 1 :
Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut :
 Pasangan berbentuk

(a,b)
(b,c)
(a,c)
(3,2)
(2,1)
(3,1)
(4,2)
(2,1)
(4,1)
(4,3)
(3,1)
(4,1)
(4,3)
(3,2)
(4,2)
 b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï       R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R.

 c)    R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....buktikan !!!



Contoh 2 :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.
Disini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Contoh 3 :
 Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif

        R : x lebih besar dari y

        S : x + y = 6

        T : 3x + y = 10

R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

S tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) Ï S.

T tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}

Bagaimana kawan, paham bukan penjelasan tentang materi relasi ini? Nah apabila belum paham, janganlah malu-malu untuk bertanya ya kawan! Terima kasih




0 komentar:

Post a Comment