Persamaan Diferensial adalah persamaan yang di
dalamnya terdapat turunan-turunan. Sebagai contoh,
Jika
terdapat variabel bebas yang tunggal, seperti pada 1) – 5), turunannya
merupakan turunan biasa dan persamaannya disebut persamaan diferensial biasa.
Jika
terdapat dua atau lebih variabel bebas, seperti pada 6) – 7), turunannya adalah
turunan parsial dan persamaannya disebut persamaan
diferensial parsial.
Tingkat (order)
persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan.
Persamaan 1), 3) dan 6) adalah order pertama; 2), 5) dan 7) adalah order kedua;
dan 4) adalah order ketiga.
Derajat (degree)
persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tertinggi yang terdapat dalam
persamaan. Semua contoh diatas merupakan persamaan berderajat pertama kecuali
contoh 5) merupakan persamaan berderajat kedua.
Baca Juga: RPP Fungsi Kuadrat
Baca Juga: RPP Fungsi Kuadrat
1.1 Pembentukan Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial muncul ketika terjadi
perubahan pada suatu besaran, yang biasanya dinyatakan dalam bentuk fungsi
matematis. Contoh 1) – 7) merupakan persamaan diferensial yang secara matematis
diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang terjadinya persamaan tersebut.
Persamaan diferensial dapat dibentuk dari
primitifnya (fungsi tanpa turunan) dengan cara menurunkan fungsi tersebut. Jika
fungsi itu memuat konstanta-konstanta sebarang maka penurunan ini dapat
digunakan untuk mengeliminasi konstanta-konstanta tersebut.
Contoh
1.1
Carilah persamaan diferensial dari
a. Keluarga/rumpun kurva:
b. Keluarga/rumpun lingkaran dengan jari-jari
yang berpusat pada sumbu
.
Pembahasan:
a. Karena ada dua konstanta sebarang (A dan B) maka dibutuhkan
tiga buah persamaan sedemikian sehingga dapat mengeliminir konstanta A dan B dan orde tertinggi dari turunan dalam persamaan ini adalah dua.
b. Persamaan rumpun lingkaran dengan jari-jari r yang berpusat pada sumbu x
adalah
Dari
sini
sebagai konstanta sebarang dan karena itu
terdapat dua konstanta sebarang yaitu c dan r .
Untuk mengeliminir keduanya dibutuhkan tiga persamaan yaitu:
Persamaan diferensial juga dapat dibentuk dari
permasalahan dunia nyata. Dalam rangkaian listrik RC dengan R adalah resistensi
dari resistor, E(t) adalah gaya elektromotif yang disediakan oleh generator
atau baterai, C adalah kapasitansi dari kapasitor dan Q(t) adalah muatan
listrik yang tersimpan dalam kapasitor pada saat t, maka persamaan diferensial
hilangnya muatan kapasitor dapat dituliskan sebagai berikut:
1.1 Penyelesaian Persamaan
Diferensial
Masalah utama dari persamaan diferensial
adalah menentukan penyelesaian PD yaitu suatu fungsi tanpa turunan-turunan dan
yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Secara garis besar konsep
penyelesaian persamaan diferensial dapat dikategorikan menjadi,
a) Penyelesaian Umum PD (PUPD), yaitu
penyelesaian PD yang memuat konstanta-konstanta sebarang yang banyaknya sama
dengan tingkat dari PD itu.
b) Penyelesaian Khusus PD (PPPD), yaitu penyelesaian
PD yang didapat dari PUPD jika pada konstanta-konstanta sebarangnya diberi
nilai tertentu.
Contoh
1.2
Misalkan diberikan sebarang persamaan berikut
ini
Pembahasan:
Bilamana y = e^2x, dan turunannya
disubstitusikan
pada ruas kiri persamaan diferensial semula dihasilkan,
Karena dihasilkan kesamaan identitas,
maka dapat disimpulkan bahwa
merupakan penyelesaian bagi persamaan
diferensial diatas.
Untuk melanjutkan contoh soal differensial yang lain, silahkan baca juga:
0 komentar:
Posting Komentar