Hal ini sering kali
menjadi kesalahan mahasiswa, dari tahun ke tahun. Salah satu kesalahan tersebut
terkait dengan konsep
titik belok (inflection point). Beberapa mahasiswa
menulis bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c dengan f ’’(c) = 0.
Padahal, dalam kuliah, telah didefinisikan bahwa titik belok dari y = f(x)
adalah titik c sedemikian sehingga f kontinu di c dan kecekungan kurva di
sebelah kiri c berbeda dengan kecekungan kurva di sebelah kanan c.
Sebagai
contoh, c = 0 merupakan titik belok dari y = f(x)
= x3,
karena f kontinu di 0, f cekung ke bawah di sebelah
kiri 0 (f ’’(x) = 6x < 0 untuk x < 0), dan f cekung
ke atas di sebelah kanan 0 (f ’’(x) = 6x > 0 untuk x >
0). Memang, untuk contoh ini, kita mempunyai f ”(0)
= 0, tetapi ini bukan merupakan syarat cukup untuk menjadikan c =
0 titik belok.
Untuk melihat bahwa
secara umum f ’’(c) = 0 bukan syarat cukup untuk
menjadikan c titik belok, coba lihat contoh lainnya,
yaitu y = f(x) = x4.
Di sini, f’(x) = 4x3 dan f ’’(x)
= 12x2. Jadi f ’’(0) = 0, tetapi f ’’(x)
> 0 baik untuk x > 0 maupun x < 0.
Jadi kurva y = f(x) memiliki kecekungan
yang sama di sebelah kiri dan kanan 0. Titik c = 0 dalam hal
ini bukan merupakan titik belok.
Titik c dengan f ’’(c)
= 0 tetapi f ’’(x) bertanda sama di sebelah kiri
dan kanan c disebut titik riak (“undulation
point”). Selain pada kurva y = f(x)
= x4, titik c = 0 juga merupakan titik
riak pada kurva y = f(x) = x4 + x,
yang grafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
 |
Masih terkait dengan kurva y = f(x)
= x4 dan y = f(x)
= x4 + x, bila kita hitung turunan
ketiganya, kita peroleh f ’’’(x) = 24x,
sehingga f ’’’(0) = 0. Jadi tidak mengherankan bila kecekungan
kurva y = f(x) tidak berbeda di sekitar 0.
Secara umum, jika f ’’(c) = 0
dan f ’’’(c) ≠ 0, maka c merupakan
titik belok (sebagaimana yang terjadi pada y = f(x)
= x3). Tetapi, sekalipun f mempunyai
turunan kedua di c dan sekitarnya, tidak ada jaminan
bahwa f mempunyai turunan ketiga di c. Dalam hal ini, kita
harus kembali ke definisi, yaitu memeriksa kecekungan di sebelah kiri dan
kanan c.
| illustrasi titik riak dan belok |
Bila f ’’(c) = 0 bukan merupakan
syarat cukup, apakah ia merupakan syarat
perlu? Jawabannya tidak juga. Sebagai contoh, y = f(x)
= x|x| kontinu dan mempunyai turunan pertama di 0,
yaitu f ’(0) = 0, tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.
Meskipun demikian, f ’’(x) < 0 untuk x <
0 dan f ’’(x) > 0 untuk x > 0,
sehingga c = 0 merupakan titik belok karena kurva y = f(x)
cekung ke bawah di sebelah kiri 0 dan cekung ke atas di sebelah kanan 0.
Jadi, jangan terpaku pada satu
referensi saja. Lebih baik kaji lebih teliti dan temukan bahwa tidak setiap
pembahasan di buku itu selalu benar. Tingkatkan rasa ingin tahu anda supaya
terjadi hal yang sama dengan pembahasan titik belok dan titik riak ini.
0 komentar:
Posting Komentar