 |
| contoh perkalian skalar dalam kehidupan |
Sering
terjadi dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, hasil kali skalar
antara dua vektor x =
(x1, …, xn) dan y = (y1, … , yn)
didefinisikan dengan rumus
x ∙ y = xy1 + … + xn yn
Tetapi
sering kali si pengarang tidak memberikan penjelasan dari mana rumus tersebut
diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Untuk itu www.allmipa.com
akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di Rn mempunyai
rumus seperti itu.
Misalkan
kita mempunyai sebuah garis l di Rn, yang katakanlah
(untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a1, …, an). Jadi
koordinat sebarang titik di l adalah k(a1, …, an) untuk suatu
bilangan real k.
Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q1, …, qn) di luar
garis l,
dan kita ingin mencari titik P(p1, …, pn) pada garis l yang paling dekat
ke Q.
Jarak antara
titik P(p1, …, pn) dan Q(q1, …, qn) di Rn dalam hal ini
diberikan oleh rumus
Rumus
jarak ini merupakan perumusan dari Dalil Pythagoras (terkait
segitiga siku-siku).
Nah,
mengingat P = kA untuk suatu
bilangan real k,
persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga
|kA – Q|2 minimum.
Tetapi yang
merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa
suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat,
kita tahu bahwa |kA – Q|2 akan
mencapai minimum apabila
Perhatikan
juga bahwa dengan nilai k di atas, kita
mempunyai
|kA – O|2 +
|kA – Q|2 = |Q – O|2.
Dalam
hal ini, vektor OB = OQ – k.OA tegak lurus
terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus
terhadap OA,
termasuk ketika k =
0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari
vektor OQ terhadap
vektor OA.
Jadi begitulah asal-usul dari perumusan hasil kali skalar.
Nah,
karena bentuk penjumlahan hasil kali a1q1 +
… anqn muncul
dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil
kali skalar a1q1 + … anqn = a∙q. Jadi rumus ini
bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik
terdekat.
Dengan
rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika
dan hanya jika a∙b = a1b1 +
… + an
bn = 0.
0 komentar:
Posting Komentar