Pernahkah sobat allmipa berangan maupun
berimajinasi tentang Ada berapa sih banyaknya bilangan asli sebenarnya?
Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan
rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan
asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi
satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut.
Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.
Kemudian ada berapa banyak bilangan real?
Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, namun rupanya tidak sama dengan
ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauh lebih banyak
daripada bilangan asli.
Dengan menggunakan notasi bilangan desimal,
setiap bilangan real x dapat
dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6 …
dengan a bilangan
bulat dan bi ∊
{0, 1, 2, 3, … , 9}.
Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh
lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi.
Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita
dapat mendaftarkannya sebagai {x1, x2, x3, x4, x5,
… } dengan:
X1 := a1,b11b12b13b14b15b16…
X2 := a2,b21b22b23b24b25b26…
X3 := a3,b31b32b33b34b35b36…
X4 := a4,b41b42b43b44b45b46…
X5 := a5,b51b52b53b54b55b56…
dan seterusnya. Nah, sekarang kita
definisikan bilangan y :=
0,c1c2c3c4c5c6…
dengan ci :=
7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci :=
3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i =
1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas,
karena ci =
3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i.
Padahal, y merupakan
bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya
mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan.
Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.
Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi
Cantor, yang dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918).
Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu
himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya. Dengan
begitu sudah terbukti ketidakterbatasan suatu bilangan baik dari bilangan asli,
maupun bilangan real.
0 komentar:
Posting Komentar