Pembuktiaan Ketidakterbatasan Bilangan


kumpulan angka


Pernahkah sobat allmipa berangan maupun berimajinasi tentang Ada berapa sih banyaknya bilangan asli sebenarnya?
Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.


Kemudian ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, namun rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli.

Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6 … dengan a bilangan bulat dan bi ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.
Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x1x2x3x4x5, … } dengan:

X1 := a1,b11b12b13b14b15b16
X2 := a2,b21b22b23b24b25b26
X3 := a3,b31b32b33b34b35b36
X4 := a4,b41b42b43b44b45b46
X5 := a5,b51b52b53b54b55b56
dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c1c2c3c4c5c6… dengan ci := 7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci := 3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena ci = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.

metode guru


Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya. Dengan begitu sudah terbukti ketidakterbatasan suatu bilangan baik dari bilangan asli, maupun bilangan real. 

0 komentar:

Post a Comment