 |
| Pythagoras Muda |
Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh
pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai
bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: andaikan √2 rasional, yakni terdapat
bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n =
√2.
Dalam hal ini, kita mempunyai m2 = 2n2,
yang berarti bahwa m2 genap. Akibatnya, m juga
genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k,
dan n mestilah ganjil, karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke
persamaan m2 = 2n2, kita peroleh 4k2=
2n2 atau 2k2 = n2. Ini berarti bahwa n2 genap,
dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus
genap, sesuatu yang mustahil dan
tidak mungkin terjadi! Karena itu kita simpulkan bahwa √2
tidak mungkin rasional. (bukti seperti ini dikenal
sebagai bukti tidak langsung atau bukti dengan kontradiksi).
 |
| Prinsip Pythagoras Digunakan dalam Pembangunan Gedung |
Dalam ilmu matematika, sebuah
dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Untuk itu, selain bukti di
atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai
berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n,
dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris,
ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan
alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n)
= 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki terkecil yang ketiga
panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik
pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada
gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = m – n,
yang merupakan bilangan asli.
Selanjutnya, bila
kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE
sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = m – n dan
CE = n – (m – n) = 2n – m, yang juga merupakan
bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang lebih kecil daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi
miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan
segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah. Setelah mencermati pembuktian diatas sobat
allmipa menjadi lebih paham bahwa √2 adalah irasional.
0 komentar:
Posting Komentar