Perlu kita ketahui, apabila sobat
allmipa merasa sudah cukup akrab dengan bilangan real, namun belum mengetahui
mengenai himpunan
Cantor terner, maka
pemahaman Anda tentang bilangan real belum lengkap.
Artikel ini memperkenalkan himpunan yang menyandang nama matematikawan Georg Cantor (1845-1918)
tersebut.
Himpunan Cantor terner dikonstruksi
secara literatif, sebagai berikut. Dimulai dengan interval tutup I0 :=
[0, 1], kita bagi interval ini menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang
interval buka (⅓, ⅔) yang berada
di tengah. Sisanya adalah gabungan dua interval tutup, [0, ⅓] ∪ [⅔, 1] =: I1.
Himpunan Cantor Terner
Selanjutnya, kita bagi masing-masing
interval pada I1 menjadi tiga bagian sama
panjang, dan kita buang kedua interval buka di tengah. Sisanya merupakan
gabungan empat interval tutup, yaitu [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] =: I2.
Proses ini kita lanjutkan terus ad infinitum: Pada langkah ke-i,
kita peroleh himpunan Ii yang
merupakan gabungan dari sejumlah interval tutup (2i banyaknya).
Perhatikan bahwa
Selanjutnya, misalkan
yaitu irisan dari semua himpunan Ii.
Titik-titik ujung interval Ii,
seperti 1/3, 7/9, 26/27, dan seterusnya, jelas merupakan anggota H.
Jadi, H bukan himpunan kosong. Tetapi,
anggota H bukan hanya titik-titik ujung
interval tersebut!
Sebagai contoh , ¼ adalah anggota H yang
bukan titik ujung salah satu interval tersebut. Dalam sistem bilangan
terner (basis 3), anggota H adalah
semua bilangan yang tidak mengandung
angka 1 di belakang tanda koma. Untuk itu,
Maka ia merupakan anggota H.
(Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio 1/9.) Dari
angka-angka di belakang tanda koma, kita bisa mengetahui bahwa pada proses
pembuangan interval di tengah yang pertama, ¼ berada di interval bagian paling kiri, yaitu [0, ⅓], karena itu ia ‘selamat’. Lalu, pada
proses pembuangan interval di tengah yang kedua, ia berada di interval bagian
paling kanan dari [0, ⅓], sehingga
ia tetap selamat, dan begitu seterusnya. Ternyata cukup jelas kan sobat
allmipa, mengenai materi tentang Hinpunan cantor Terner? Meskipun sedikit
berbelit-belit dan ribet, namun setelah kita pelajari pasti akan ketemu dengan
yang namanya solusi.
0 komentar:
Posting Komentar