Kita ambil permisalan p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, … adalah bilangan-bilangan prima yang berurutan. Untuk setiap bilangan asli N, kita mempunyai
dengan SN adalah himpunan semua bilangan asli yang habis dibagi oleh p1, p2, …, atau pN, tetapi tidak habis dibagi oleh pi, i > N. Disebabkan hasil kali di ruas kiri terhingga, jumlah di ruas kanan pun juga terhingga. Namun, semakin besar bilangan N, semakin besar himpunan SN dan sehubungan dengan itu semakin besar pula jumlah di ruas kanan. Karena deret harmonik 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … divergen, jumlah di ruas kanan semakin besar ‘tak terbatas’ seiring dengan semakin besarnya N. Jadi hasil kali di ruas kiri pun juga semakin besar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N.
Untuk itu, dengan bantuan fakta di atas, Leonhard Euler (1707-1783) membuktikan bahwa deret kebalikan bilangan prima, yaitu
merupakan deret yang divergen. Buktinya adalah sebagai berikut. Untuk setiap bilangan asli N, ambil nilai logaritma natural dari kedua ruas kesamaan di atas, dan gunakan sifat logaritma serta uraian deret Maclaurin untuk -ln(1 – x):
Andaikan deret kebalikan bilangan prima konvergen, maka deret di ruas kanan konvergen — karena deret jumlah suku-suku lainnya konvergen:
Setelah itu sobat allmipa, Akibat yag terjadi yaitu himpunan bilangan logaritma di ruas kiri ‘terbatas’. Tetapi ini mustahil, karena hasil kali
membesar tak terbatas seiring dengan semakin besarnya N. Karena itu kita dapat disimpulkan bahwa deret kebalikan bilangan prima pasti divergen.
0 komentar:
Posting Komentar