Pembuktian Logis Ketidakterbatasan Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli selain 1 yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lain selain oleh 1 dan oleh bilangan itu sendiri. Materi bilangan prima sudah sering kita jumpai dan

.

Nah, Bilangan asli selain 1 yang bukan bilangan prima disebut sebagai bilangan komposit. Sebagai contoh, 10 merupakan bilangan komposit, karena 10 dapat dibagi oleh 2 dan 5, selain oleh 1 dan 10 sendiri. Kemudian, ada berapa banyak bilangan prima tersebut? Jawabannya adalah tak terhingga. Bagaimana kita bisa tahu ada tak terhingga banyaknya bilangan prima? Berikut adalah pembuktiannya sobat allmipa.

Misalkan kita memeriksa setiap bilangan asli selain 1, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya, apakah bilangan ini merupakan bilangan prima atau bilangan komposit. Andaikan terdapat hanya sejumlah terhingga bilangan prima, sebutlah p₁, p₂, … , p_N. Kalikan semua bilangan ini, lalu tambahkan 1, sehingga kita peroleh bilangan m = p₁p₂…p_N + 1.

Bilangan m adalah bilangan asli yang lebih besar daripada p_N. Apakah m merupakan bilangan prima atau bilangan komposit? Jika ia merupakan bilangan prima, maka kita telah menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada p₁, p₂, … , p_N, yaitu bilangan m tersebut, yang pastinya berbeda dari p₁, p₂, … , p_N. Jika ia merupakan bilangan komposit, maka sesuai dengan arti bilangan komposit m habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang lebih kecil daripadanya, sebutlah q. Tetapi m tidak habis dibagi oleh p₁, p₂, … , p_N (karena jika m dibagi dengan bilangan-bilangan prima ini, maka akan diperoleh sisa 1). Karena itu q mestilah suatu bilangan prima yang berbeda dari p₁, p₂, … , p_N. Jadi, seperti pada kasus sebelumnya, kita akan menemukan suatu bilangan prima baru yang berbeda dari bilangan-bilangan prima yang kita asumsikan.

Berdasarkan penjabaran argumentasi di atas, daftar bilangan prima takkan berakhir. Dengan perkataan lain, banyaknya bilangan prima mestilah tak terhingga. Fakta ini dikenal sebagai Teorema Euclid, dan pembuktian seperti di atas pertama kali diberikan oleh Euclid pada awal abad ke-3 SM dalam bukunya yang berjudul Elements.