
.
Nah, Bilangan
asli selain 1 yang bukan bilangan prima disebut sebagai bilangan komposit.
Sebagai contoh, 10 merupakan bilangan komposit, karena 10 dapat dibagi oleh 2
dan 5, selain oleh 1 dan 10 sendiri. Kemudian, ada
berapa banyak bilangan prima tersebut? Jawabannya adalah tak terhingga.
Bagaimana kita bisa tahu ada tak terhingga banyaknya bilangan prima? Berikut
adalah pembuktiannya sobat allmipa.
Misalkan kita
memeriksa setiap bilangan asli selain 1, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya,
apakah bilangan ini merupakan bilangan prima atau bilangan komposit. Andaikan
terdapat hanya sejumlah terhingga bilangan prima, sebutlah p1, p2,
… , pN. Kalikan semua bilangan ini, lalu tambahkan 1, sehingga
kita peroleh bilangan m = p1p2…pN +
1.
Bilangan m adalah
bilangan asli yang lebih besar daripada pN. Apakah m merupakan
bilangan prima atau bilangan komposit? Jika ia merupakan bilangan prima, maka
kita telah menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada p1, p2,
… , pN, yaitu bilangan m tersebut, yang pastinya
berbeda dari p1, p2, … , pN.
Jika ia merupakan bilangan komposit, maka sesuai dengan arti bilangan komposit m habis
dibagi oleh suatu bilangan prima yang lebih kecil daripadanya, sebutlah q.
Tetapi m tidak habis dibagi oleh p1, p2,
… , pN (karena jika m dibagi dengan
bilangan-bilangan prima ini, maka akan diperoleh sisa 1). Karena itu q mestilah
suatu bilangan prima yang berbeda dari p1, p2,
… , pN. Jadi, seperti pada kasus sebelumnya, kita akan
menemukan suatu bilangan prima baru yang berbeda dari bilangan-bilangan prima
yang kita asumsikan.
Berdasarkan penjabaran
argumentasi di atas, daftar bilangan prima takkan berakhir. Dengan perkataan
lain, banyaknya bilangan prima mestilah tak terhingga. Fakta ini dikenal
sebagai Teorema Euclid, dan pembuktian seperti di atas pertama kali
diberikan oleh Euclid pada awal abad ke-3 SM dalam bukunya yang berjudul Elements.
Kita tahunya tinggal pakai aja. :)
BalasHapusInformasi yang menarik... Terima kasih wawasannya
BalasHapus